Difference between revisions 13859142 and 16374837 on trwiki

<!--{{More footnotes|date=September 2009}}-->
[[Matematik]]'te,'' 'Bessel polinomları''' olan bir [[orthogonal polynomials|ortogonal]] [[polinom]]'lar dizisidir.Farklı ancak yakından ilişkili tanımları vardır.Matematikçilerin tercih ettiği tanım seri(Krall & Fink, 1948)ile verilir

:<math>y_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{(n+k)!}{(n-k)!k!}\,\left(\frac{x}{2}\right)^k</math>

Elektrik mühendisleri tercih ettiği bir başka tanım, zaman zaman '''ters Bessel polinomları''' olarak bilinir.(Grosswald 1978, Berg 2000).
:<math>\theta_n(x)=x^n\,y_n(1/x)=\sum_{k=0}^n\frac{(2n-k)!}{(n-k)!k!}\,\frac{x^k}{2^{n-k}}</math>

İkinci tanımı katsayıları ilk olarak, ancak ters sıradan aynıdır. Örneği üçüncü derece Bessel polinomdur
:<math>y_3(x)=15x^3+15x^2+6x+1\,</math>
üçüncü derece ters Bessel polinomu ise
:<math>\theta_3(x)=x^3+6x^2+15x+15\,</math>

[[Bessel filter|Bessel elektronik filtreler]]'de ters Bessel polinomunun tasarımı kullanılır 
== Özellikleri ==
=== Bessel fonksiyonları açısından tanımı ===

Bessel polinom da kullanılarak tanımlanabilir artan faktöriyel adını aldığı polinomu çekiyor .
:<math>y_n(x)=\,x^{n}\theta_n(1/x)\,</math>
:<math>\theta_n(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\,x^{n+1/2}e^{x}K_{n+ \frac 1 2}(x)</math>
:<math>y_n(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\,e^{1/x}K_{n+\frac 1 2}(1/x)</math>

burada <math>K_n(x)</math> is değiştirilmiş Bessel ikinci tür fonksiyon ve.<math>y_n(x)</math>   ters polinomdur(pag 7 and 34 Grosswald 1978).

=== Bir hipergeometrik fonksiyon olarak tanımı ===

Bessel polinomu ayrıca bu şekilde tanımlanabilir [[konfluent hipergeometrik fonksiyonu]] (Dita, 2006)

:<math>y_n(x)=\,_2F_0(-n,n+1;;-x/2)= \left(\frac 2 x\right)^{-n} U\left(-n,-2n,\frac 2 x\right)= \left(\frac 2 x\right)^{n+1} U\left(n+1,2n+2,\frac 2 x \right).</math>

Ters Bessel polinomu genelleştirilmiş bir şekilde tanımlanabilir [[Laguerre polinomu]]:
:<math>\theta_n(x)=\frac{n!}{(-2)^n}\,L_n^{-2n-1}(2x)</math>

bu aynı zamanda bir hipergeometrik fonksiyonu olarak tanımlanabilir ki aşağıda aldığı:

:<math>\theta_n(x)=\frac{(-2n)_n}{(-2)^n}\,\,_1F_1(-n;-2n;-2x)</math>

burada <math>(-2n)_n</math> is the [[Pochhammer sembolü]] (artan faktörlü).

=== Fonksiyonu oluşturma ===
Bessel polinomları üretme fonksiyonu var
:<math>\sum_{n=0} \sqrt{\frac 2 \pi} x^{n+\frac 1 2} e^x K_{n-\frac 1 2}(x) \frac {t^n}{n!}= e^{x(1-\sqrt{1-2t})}.</math>

=== Özyineleme ===

Bessel polinomu ayrıca bu özyineleme formülü tarafından tanımlanabilir:

:<math>y_0(x)=1\,</math>
:<math>y_1(x)=x+1\,</math>
:<math>y_n(x)=(2n\!-\!1)x\,y_{n-1}(x)+y_{n-2}(x)\,</math>

ve

:<math>\theta_0(x)=1\,</math>
:<math>\theta_1(x)=x+1\,</math>
:<math>\theta_n(x)=(2n\!-\!1)\theta_{n-1}(x)+x^2\theta_{n-2}(x)\,</math>

=== Diferansiyel denklemler ===

Bessel polinomu aşağıdaki diferansiyel denkleme uyar:

:<math>x^2\frac{d^2y_n(x)}{dx^2}+2(x\!+\!1)\frac{dy_n(x)}{dx}-n(n+1)y_n(x)=0</math>

ve
:<math>x\frac{d^2\theta_n(x)}{dx^2}-2(x\!+\!n)\frac{d\theta_n(x)}{dx}+2n\,\theta_n(x)=0</math>

== Genelleme ==
=== Açık Formu ===
Bessel polinomları bir genelleme literatürde ileri sürülmektedir.(Krall, Fink), aşağıda gösterildiği gibi:

:<math>y_n(x;\alpha,\beta):= (-1)^n n! \left(\frac x \beta\right)^n L_n^{(1-2n-\alpha)}\left(\frac \beta x\right),</math>
karşılık gelen ters polinomları
:<math>\theta_n(x;\alpha, \beta):= \frac{n!}{(-\beta)^n}L_n^{(1-2n-\alpha)}(\beta x)=x^n y_n\left(\frac 1 x;\alpha,\beta\right).</math>

Ağırlıklandırma fonksiyonu için
:<math>\rho(x;\alpha,\beta):= \, _1F_1\left(1,\alpha-1,-\frac \beta x\right)</math>
Bu ilişkiler açısından ortogonal bulunmaktadır
:<math>0= \oint_c\rho(x;\alpha,\beta)y_n(x;\alpha,\beta) y_m(x;\alpha,\beta)\mathrm d x</math>
için de geçerlidir<math>m \neq n </math> ve <math> c </math> a 0 noktasını çevreleyen bir eğri. 

:<math>\alpha=\beta=2</math> için Bessel polinomları özelleştireceğiz,buradaki durumda <math>\rho(x)=e^{-2/x}</math>.

=== Bessel polinomları için Rodrigues formülü ===
Yukarıdaki diferansiyel denklemin özel çözümler olarak Bessel polinomları için Rodrigues formülü:

:<math>B_n^{(\alpha,\beta)}(x)=\frac{a_n^{(\alpha,\beta)}}{x^{\alpha} e^{\frac{(-\beta)}{x}}} \left(\frac{d}{dx}\right)^n (x^{\alpha+2n} e^{\frac{(-\beta)}{x}})</math>

burada <math>a_n^{(\alpha,\beta)}</math> normalizasyon katsayılarıdır.

=== İlişkili Bessel polinomları ===


Bu genellemeye göre şu genelleştirilmiş ilişkinin Bessel polinomları diferansiyel denklem var:
:<math>x^2\frac{d^2B_{n,m}^{(\alpha,\beta)}(x)}{dx^2} + [(\alpha+2)x+\beta]\frac{dB_{n,m}^{(\alpha,\beta)}(x)}{dx} - \left[ n(\alpha+n+1) + \frac{m \beta}{x} \right] B_{n,m}^{(\alpha,\beta)}(x)=0</math>

burada <math>0\leq m\leq n</math>. çözümü,

:<math>B_{n,m}^{(\alpha,\beta)}(x)=\frac{a_{n,m}^{(\alpha,\beta)}}{x^{\alpha+m} e^{\frac{(-\beta)}{x}}} \left(\frac{d}{dx}\right)^{n-m} (x^{\alpha+2n} e^{\frac{(-\beta)}{x}})</math>

== Özel değerler ==

:<math>
\begin{align}
y_0(x) & = 1 \\
y_1(x) & = x  +  1 \\
y_2(x) & = 3x^2+  3x  +  1 \\
y_3(x) & = 15x^3+ 15x^2+  6x  +  1 \\
y_4(x) & = 105x^4+105x^3+ 45x^2+ 10x  + 1 \\
y_5(x) & = 945x^5+945x^4+420x^3+105x^2+15x+1
\end{align}
</math>

== Kaynakça ==
{{Kaynakça}}
*{{Dergi kaynağı|son=Carlitz|ilk= Leonard|yazarlink= Leonard Carlitz|yardımcıyazarlar=|yıl= 1957|ay=|başlık= A Note on the Bessel Polynomials|gazete= Duke Math. J.|cilt=24|sayı=2|sayfalar=151–162|doi=10.1215/S0012-7094-57-02421-3|mr=0085360}}
*{{Dergi kaynağı|son= Krall|ilk= H. L.|yardımcıyazarlar=Fink, O.|yıl= 1948|ay=|başlık= A New Class of Orthogonal Polynomials: The Bessel Polynomials|gazete= Trans. Amer. Math. Soc.|cilt=65|sayı=1|sayfalar=100–115|doi = 10.2307/1990516|jstor = 1990516|erişimtarihi=|quotes=}}
*{{İnternetWeb kaynağı| | url = http://www.research.att.com/~njas/sequences| | başlık= = The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences| | erişimtarihi= = 16 Ağustos 2006| | yazar= = Sloane, N. J. A.|son=|ilk=|yardımcıyazarlar=|tarih=|yıl=|ay=| | son =  | ilk =  | yardımcıyazarlar =  | tarih =  | yıl =  | ay =  | çalışma=| =  | yayımcı=| =  | sayfalar= =  | arşivurl = http://web.archive.org/web/20100529085046/http://www.research.att.com:80/~njas/sequences/ | arşivtarihi = 29 Mayıs 2010}} (Dizileri görmek için {{OEIS2C|A001497}}, {{OEIS2C|A001498}}, ve {{OEIS2C|A104548}})
*{{İnternetWeb kaynağı| | son1= = Dita| | ilk1=P.| = P. | son2= = Grama| | ilk2= = Grama, N.|yıl=2006|ay= | yıl = 2006 | ay = 24 Mayıs| | başlık= = On Adomian’s Decomposition Method for Solving Differential Equations| | eprint= = solv-int/9705008| | quotes=| =  | class= = solv-int | arşivengelli = evet}}
*{{Dergi kaynağı|son1=Fakhri|ilk1=H.|son2=Chenaghlou|ilk2=A.|yıl=2006|ay=|başlık=Ladder operators and recursion relations for the associated Bessel polynomials|gazete=Physics Letters A|sayı=358|issue=5–6|sayfalar=345–353|doi=10.1016/j.physleta.2006.05.070|bibcode=2006PhLA..358..345F|erişimtarihi=|quotes=}}
*{{Kitap kaynağı|son=Grosswald|ilk=E.|yazarlink=Emil Grosswald|yardımcıyazarlar=|başlık=Bessel Polynomials (Lecture Notes in Mathematics) |yıl=1978|yayımcı=Springer|yer=New York|isbn=0-387-09104-1}}
*{{Kitap kaynağı|son=Roman|ilk=S.|yardımcıyazarlar=|başlık=The Umbral Calculus (The Bessel Polynomials &sect;4.1.7)|yıl=1984|yayımcı=Academic Press|yer=New York|isbn=0-486-44139-3}}
*{{İnternet kaynağı|url=Web kaynağı | url = http://www.math.ku.dk/~berg/manus/bessel.pdf| | başlık= = Linearization coefficients of Bessel polynomials and properties of Student-t distributions| | erişimtarihi= = 2006-08-16| | yazar=|son=Berg|ilk= =  | son = Berg | ilk = Christian| | yardımcıyazarlar= = Vignat, C.| | tarih=|yıl=2000|ay= =  | yıl = 2000 | ay =  |  biçim=PDF| = PDF | çalışma=| =  | yayımcı=| =  | sayfalar= =  | arşivurl = http://web.archive.org/web/20131023055813/http://www.math.ku.dk/~berg/manus/bessel.pdf | arşivtarihi = 23 Ekim 2013}}

== Dış bağlantılar ==
*{{MathWorld|title=Bessel Polynomial|urlname=BesselPolynomial}}

<!--{{SloanesRef |sequencenumber=A001498|name=Coefficients of Bessel polynomials }}-->

[[Kategori:Ortogonal polinomlar]]
[[Kategori:Özel hipergeometri foksiyonları]]