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'''数学分析'''（mathematical analysis）  分析学中最古老、最基本的分支，一般指以[[微积分学]]和[[无穷级数]]一般理论为主要内容，并包括它们的理论基础（[[实数]]、[[函数]]和[[极限]]的基本理论）的一个较为完整的数学学科。它也是大学数学专业的一门基础课程。<ref name="gzfjt">出自《数学辞海（第一卷）》</ref>

== 历史 ==
在古希腊数学的早期，数学分析的结果是隐含给出的。比如，[[埃利亚的芝诺|芝诺]]的[[两分法悖论]]就隐含了无限几何和。<ref name="Stillwell Infinite Series Early Results">{{cite book|last={{Link-en|约翰·史迪威[[约翰·史迪威]]（[[:en:John Stillwell|Stillwell|John Stillwell|Stillwell}}]]）|title=|year=2004|chapter=Infinite Series|pages=170|quote=无穷级数在古希腊数学中出现过，……例如，毫无疑问的，芝诺的两分法悖论考虑了将1分解为无穷级数：<sup>1</sup>⁄<sub>2</sub> + <sup>1</sup>⁄<sub>2</sub><sup>2</sup> + <sup>1</sup>⁄<sub>2</sub><sup>3</sup> + <sup>1</sup>⁄<sub>2</sub><sup>4</sup> + ... and that Archimedes found the area of the parabolic segment (Section 4.4) essentially by summing the infinite series 1 + <sup>1</sup>⁄<sub>4</sub> + <sup>1</sup>⁄<sub>4</sub><sup>2</sup> + <sup>1</sup>⁄<sub>4</sub><sup>3</sup> + ... = <sup>4</sup>⁄<sub>3</sub>。这些例子是几何级数求和的一些特例。}}</ref>再后来，[[古希腊数学|古希腊数学家]]如[[欧多克索斯]]和[[阿基米德]]使数学分析变得更加明确，但还不是很正式。他们在使用{{link-en|穷竭法[[穷竭法]]（[[:en:method of exhaustion|method of exhaustion}}]]）去计算区域和固体的面积和体积时，使用了极限和收敛的概念。<ref>(（Smith, 1958)）</ref>在{{link-en|古印度数学[[古印度数学]]（[[:en:Indian mathematics|Indian mathematics}}]]）的早期，12世纪的数学家[[婆什迦羅第二]]给出了[[导数]]的例子，还使用过现在所知的[[罗尔定理]]。

数学分析的创立始于17世纪以[[牛顿]]（Newton，I.）和[[莱布尼茨]]（Leibniz，G.W.）为代表的开创性工作，而完成于19世纪以[[柯西]]（Cauchy，A.-L.）和[[魏尔斯特拉斯]]（Weierstrass,K.（T.W.））为代表的奠基性工作.从牛顿开始就将微积分学及其有关内容称为分析.其后,微积分学领域不断扩大,但许多数学家还是沿用这一名称.时至今日,许多内容虽已从微积分学中分离出去,成了独立的学科,而人们仍以分析统称之.数学分析亦简称分析（参见“[[分析学]]”）.

(contracted; show full)和级数的收敛性（后来知道，[[波尔查诺]]（Bolzano，B.）同时也做过类似的工作）.进一步，[[狄利克雷]]于（Dirichlet，P.G.L.）1837年提出了函数的严格定义，魏尔斯特拉斯引进了极限的<math>\varepsilon - \delta</math>定义.基本上实现了分析的算术化，使分析从几何直观的局限中得到了“解放”，从而驱散了17—18世纪笼罩在微积分外面的神秘云雾.继而在此基础上，[[黎曼]]（Riemann，（G.F.）B.）于1854年和[[达布]]（Darboux，（J.-）G.）于1875年对有界函数建立了严密的积分理论，19世纪后半叶，[[戴德金]]（Dedekind，J.W.R）等人完成了严格的实数理论.至此，数学分析的理论和方法完全建立在牢固的基础之上，基本上形成了一个完整的体系，也为20世纪现代分析的发展铺平了道路.<ref name="gzfjt"/>

== 分支领域 ==
数学分析在当前被分为以下几个分支领域：

* [[实分析]]是对于实值[[函数]]的[[微分]]和[[积分]]进行[[形式严谨]]
(（formally rigorous)）的研究。这包括对[[极限]]、[[幂级数]]和[[测度]]的研究。
* [[泛函分析]]研究[[函数空间]]和介绍例如[[巴拿赫空间]]以及[[希尔伯特空间]]的概念。
* [[调和分析]]处理[[傅里叶级数]]以及其抽象。
* [[複分析]]，是对从[[複平面]]到複平面的複数可微函数的研究。

==近现代经典文献==
===教材===
*《微积分学教程》格里高利·米哈伊洛维奇·菲赫金哥尔茨著
*《数学分析原理》格里高利·米哈伊洛维奇·菲赫金哥尔茨著
*《数学分析讲义》阿黑波夫著
*《数学分析简明教程》辛钦著
*《数学分析》(（共两卷)）Zorich（卓里奇）著
*《微积分和数学分析引论》Richard Courant（柯朗）著
*《数学分析》Tom M.Apostol著
*《数学分析原理》Walter Rudin（卢丁）著
*《陶哲轩实分析》陶哲轩著
*《微积分入门》小平邦彦著
*《高等数学引论》(（共四卷)）华罗庚著 科学出版社
*《数学分析》(（共两册)）华东师范大学数学系
*《数学分析》(（共两册)）欧阳光中，朱学炎，金福临，陈传璋著
*《数学分析》(（共两册)）陈纪修，於崇华,  金路著
*《数学分析新讲》(（共三册)）张筑生著
*《数学分析讲义》(（共三册)）刘玉莲，傅沛仁著
*《数学分析》(（共三册)）周民强，方企勤著

===论著和习题集===
*《古今数学思想》M.克莱因著  1-4册 上海科学技术出版社
*《吉米多维奇数学分析习题集》鲍里斯.帕夫罗维奇.吉米多维奇著
*《数学分析中的问题和定理》G.Polya(（波利亚)）,G.Szego(（舍贵)）著
*《数学分析八讲》辛钦著
*《微积分五讲》龚升著
*《重温微积分》齐民友
*《数学分析习题课讲义》(（上下两册)）谢惠民 等著
*《数学分析中的典型问题与方法》裴礼文著
*《数学分析问题研究与评注》汪林 等著
*《数学分析拾遗》赵显增著
*《数学分析习题演练》周民强著

== 参考文献 ==
=== 引用 ===
{{Reflist}}

=== 书籍 ===
* 《数学辞海（第一卷）》山西教育出版社 中国科学技术出版社 东南大学出版社
* Smith, David E. 1958. ''History of Mathematics''. Dover Publications. ISBN 0-486-20430-8.
* Stillwell, John. 2004. ''Mathematics and its History''. 2nd ed. Springer Science + Business Media Inc. ISBN 0-387-95336-1.

== 外部链接 ==
* [http://jpkc.ecnu.edu.cn/sxfx/ 数学分析课程] - [[华东师范大学]]数学系 
* [http://www.math.pku.edu.cn:8000/misc/course/analysis/ 数学分析课程] - [[北京大学]]数学科学学院

== 参见 ==
* [[高等数学]]
* [[實分析]]
* [[生成函數]]
* [[泛函分析]]
* [[傅立葉分析]]
* [[複分析]]
* [[微分拓撲]]
* [[數值分析]]

[[Category:数学分析]]