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广义孪生素数猜想是指是否有无穷多个素数<math>p</math>，使得<math>p+2s</math>也是素数，s=1,2,3，....。其内容包括了孪生素数猜想，表兄弟素数猜想，六素数猜想，....。 
	{{squote|w=50%|存在无穷多个素数''p''，与''p + 2s''都是素数。}}
== 孪生素数猜想 ==
参见[[孪生素数猜想]]
	{{squote|w=50%|存在无穷多个素数''p''，与''p + 2''都是素数。}}s=1.
=== 孪生素数的公式 ===
利用素数的判定法则，可以得到以下的结论：“若自然数<math>q</math>与<math>q+2</math>都不能被任何不大于<math>\sqrt{q+2}</math>的素数
(contracted; show full)
=='''广义孪生素数猜想等价于哥德巴赫猜想'''==
如果s=1,2,3,4，....。都成立，那么广义孪生素数猜想等价哥德巴赫猜想。
这是因为<math>p</math>+（<math>p+2s</math>）=
2（<math>p+s</math>）=偶数。
'''
== 需要的定理--埃拉托斯特尼区间筛法 ==  
       將1至<math>p_{1}p_{2}p_{3}</math>...<math>p_{k-2}p_{k-1}p_{k}</math>连续的自然数按照<math>p_{k-1}p_{k}</math>为一个区间，分为<math>p_{1}p_{2}</math>...<math>p_{k-2}</math>个区间，依次按2，3，
⏎
⏎
5,....順序⏎
⏎
篩，篩K次後， 任兩個含連續自然數個數相等的區間，被篩（或末被篩）數相差不超過K。
（中国科学院的数学家认为这个是十分显然的，毫无疑问的）
    
       說明：本篩法與埃拉托斯特尼篩法不同，埃氏篩先用2篩，然後把2的倍數剔除掉；再用3篩，然後又把3的倍 
   數剔除掉；再用5篩，…。本篩法也是按照2,3,5，...順序篩,用不大於的素數去篩（不得用大於的素數去篩），
只 是已篩過的數數不馬上剔除掉，而是做上標記，等全部篩完過後再把篩過的數剔除掉。於是，有一些含有
幾個不同 素因數的數可能就要被篩幾遍，例如，“6”就要被“2”和“3”各篩一遍。 
    
    證明：根據除法算式定理：“給定正整數a和b，b≠0，存在惟一整數b和q，使a=bq+r”得知，如果
從a中篩 bm形數，a個連續自然數中，最多含有q個bm形數，r個連續自然數中，最多含有1個形數。 
    例如a=35，b=3。 35個連續自然數中最多含有11+1=12個3m形數。如36—70有12個3m形數，1－35
有11個3m形數。 
    現在設某兩個區間為A與B，含自然數的個數分別為|A|與|B|，|A|=|B|，下證明P去篩，兩個區間被
篩形數（或 未被篩數）個數相差最多不超過1，由上所述篩法，用順序素數2,3,5,..依次去篩，兩個區間每次被篩形數
（或未被篩數） 個數相差最多不超過1，故篩次兩區間被篩數（或未被篩數數）個數最多不超過個。 
    
    證法（1），設|A|=a=bq+r,則|B|=a=bq+r，即區間A和B中均至少含有q（q>1）個bm形數，又由於
r<b，故r個連續 自然數中至多有一個形數，即被篩bm形個數相差不超過1。 
    
    證法（2），假若不然，篩K次有兩個區間A與B，被篩數相差大於K，比如有K+1個，那會出現現什麼
問題呢？我們問第是個什麽數，見圖，假如與用2和3篩，如果出現了相差3個，第一個記為形，第二個記為形，問第三個（？
）是什麼形式，（每一方括号表示一個自然數，）。 
    
    A：[][]...[] --------------------------- [][][][][][] 
    
   B：[][]...[][2m][3m][？]-----------------------[][][] 
    
        已篩過部分--------------------   未篩過部分 
   
    如果第三個（？）是2m或3m形，顯然與除法算式定理矛盾；如果不是2m或3m形，它就不應“站在”
已篩過部分行列，無論哪種情況，假設都不成立，證畢。 
  '''为什么区间要大于<math>2p_{k}</math>''' 
   如果区间小于<math>2p_{k}</math>，并且不按照顺序筛法，就会出现其它异常。例如，我们直接用5和
(contracted; show full)[[he:השערת המספרים הראשוניים התאומים]]
[[hu:Ikerprím-sejtés]]
[[it:Congettura dei numeri primi gemelli]]
[[ko:쌍둥이 소수 추측]]
[[pt:Conjectura dos primos gêmeos]]
[[simple:Twin Prime Conjecture]]
[[sv:Primtalstvillingsförmodan]]
[[th:ข้อความคาดการณ์จำนวนเฉพาะคู่แฝด]]