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广义孪生素数猜想是指是否有无穷多个素数<math>p</math>，使得<math>p+2s</math>也是素数，s=1,2,3，....。其内容包括了孪生素数猜想，表兄弟素数猜想，六素数猜想，....。 
	{{squote|w=50%|存在无穷多个素数''p''，与''p + 2s''都是素数。}}
== 孪生素数猜想 ==
参见[[孪生素数猜想]]
	{{squote|w=50%|存在无穷多个素数''p''，与''p + 2''都是素数。}}s=1.
=== 孪生素数的公式 ===
利用素数的判定法则，可以得到以下的结论：“若自然数<math>q</math>与<math>q+2</math>都不能被任何不大于<math>\sqrt{q+2}</math>的素数
(contracted; show full)
|-
| <math>B=2m_{1}+1=3m_{2}+2=5m_{3}+2</math> || 197 || 107 || 17 || 167
|}已经求得了区间<math>(11, 11^2)</math>的全部B类三胞胎素数。
仿此下去可以求得给定区域内的全部A类和B类全部三胞胎素数，并且一个不漏地求得。
== 三胞胎素数猜想 ==
有关孪生素数的一个著名猜想是：是否有无穷多个孪生素数？这个问题迄今尚未解决。同样的，有关于三胞胎素数的类似猜想：是否有无穷个三胞胎素数？用三胞胎素数公式的角度，就是以上的（1）（2）（3）（4）四个方程组k值任意大时是否都有小于<math>p_{k+1}^2-4</math> 或 <math>p_{k+1}^2-2</math> 的解。由于三胞胎素数中一定有两个是孪生素数，解决了三胞胎素数猜想也就意味着解决了孪生素数猜想。同时，上面四个公式也把这个问题转入初等数论范围。
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=='''两对一起孪生素数-（四胞胎素数）'''==
（'''四連素数'''）是指一組符合以下形式的[[素数]]{''p'', ''p''+2, ''p''+6, ''p''+8}。上述形式是大於3的四個連續素数出現機率最高的形式。頭幾組四胞胎素数如下
{[[5]], [[7]], [[11]], [[13]]}, {11, 13, [[17]], [[19]]}, {[[101]], [[103]], [[107]], [[109]]}, {[[191]], [[193]], [[197]], [[199]]}, {821, 823, 827, 829}, {1481, 1483, 1487, 1489}, {1871, 1873, 1877, 1879}, {2081, 2083, 2087, 2089}, {3251, 3253, 3257, 3259}, {3461, 3463, 3467, 3469}, {5651, 5653, 5657, 5659}, {9431, 9433, 9437, 9439} 。
四胞胎素数中有包括二組連續的[[孪生素数]]及二組互相重疊的[[三胞胎素数]]（同时A类与B类）。
目前還不確定是否存在無限組四胞胎素数，若四胞胎素数有無限組，也就可推得了[[孪生素数猜想]]，不過根據现有的知識推測，孪生素数可能有無限組，但四胞胎素数可能只有有限組。  
==四生素数的公式==
有一条定理：“若自然数S-4，S-2，S+2，S+4都不能被不大于<math>\sqrt{S+4}</math>任何素数整除，则S-4，S-2,S+2，S+4都是一组10以内的四生素数，称为四胞胎素数组”。这是根据[[素数判定法则]]，“若自然数n不能被不大于<math>\sqrt{n}</math>任何素数整除,则n是一个素数。《代数学辞典》259页，上海教育出版社1985年屉部贞市朗著【日】
  
这句话可以用公式表达：
 
<math>S=p_{1}m_{1}+a_{1}=p_{2}m_{2}+a_{2}=\dots=p_{k}m_{k}+a_{k}</math>。(1)
  
其中 <math>p_{1},p_{2},\dots,p_{k}</math>表示顺序素数2，3，5，....。<math>a_{i}</math>≠2，<math>a_{i}</math>≠4，a≠<math>p_{i}-2</math>,<math>p_{i}-4</math>。
  
若<math>s<P^{2}_{k+1}-4</math>则S-4,S-2,S+2,S+4是一组四胞胎素数。
  
（1）式的同余形式：
  
<math>S \equiv a_1 \pmod{p_1}, S \equiv a_2 \pmod{p_2}, \dots, S \equiv a_k \pmod{p_k} (2)</math>
  
　 由于（2）的模<math>p_{1}</math>,<math>p_{2}</math>,...,<math>p_{k}</math> 两两互素，根据[[孙子定理]](中国剩余定理）知，对于给定的a值，（2）式在 
<math>p_{1}</math><math>p_{2}</math>...<math>p_{k}</math>范围内有唯一解。
  
例如:
 
k=2时，<math>S=2m_{1}+1=3m_{2}</math>.解得S=9和15。
 
15<5²-4，
 
得知9-4，9-2，9+2，9+4是一组10以内的四胞胎素数；
 
15-4，15-2，15+2，15+4是一组10以内的四胞胎素数。
  
k=3时，<math>S=2m_{1}+1=3m_{2}=5m_{3}</math>
  
解得S=45,45=7²-4；45≮7²-4，所以，45-4,45-2,45+2,45+4不是一组10以内的四生素数。
  
k=4时，
  
<math>S=2m_{1}+1=3m_{2}=5m_{3}=7m_{4}=105</math>；
  
<math>S=2m_{1}+1=3m_{2}=5m_{3}=7m_{4}+1=15</math>；
  
<math>S=2m_{1}+1=3m_{2}=5m_{3}=7m_{4}+6=195</math>。
  
105<11²-4=117。所以105-4，105-2,105+2,105+4是一组10以内的四生素数。
{| class="wikitable"
|-
! k=5时 !! <math>11m_{5}+0</math> !! <math>11m_{5}+1</math> !! <math>11m_{5}+3</math> !! <math>11m_{5}+5</math> !! <math>11m_{5}+6</math> !! <math>11m_{5}+8</math> !! <math>11m_{5}+10</math>
|-
| <math>S=2m_{1}+1=3m_{2}=5m_{3}=7m_{4}+0</math>= || 945 || 1365 || 1785 || 2205 || 105 || 525 || 1715
|-
| <math>S=2m_{1}+1=3m_{2}=5m_{3}=7m_{4}+1</math>= || 1485 || 1695 || 2115 || 225 || 435 || 855 || 1275
|-
| <math>S=2m_{1}+1=3m_{2}=5m_{3}=7m_{4}+6</math>= || 825 || 1035 || 1455 || 1875 || 2085 || 195 || 615
|}求得了（13,13²）区间的全部解。s<<math>p^{2}_{6}-4</math>=13²-4=165的解只有105.
  
仿此下去，可以一个不漏地求得全部四胞胎素数组。
== 四胞胎素数猜想 ==
是否有无穷组四胞胎素数？这就是四胞胎素数猜想。也就是k值任意大（1）和（2）式都有小于<math>p^{2}_{k+1}-4</math>的解。证明（1）和（2）是一个初等数论问题。
证明了四胞胎素数有无穷多，也就证明了有无穷多对孪生素数和无穷多组三胞胎素数。如果四胞胎素数是有限的，并不能说明孪生素数是有限的。
== 参考文献 ==
#《一万个世界之谜》湖北少儿出版社，梁宗巨主编。
#《谈谈素数表达式》【中等数学】1999年2期；
#《关于一个寻找素数方法的理论依据》【中等数学】2003年4期；
#《孪生质数公式》【中等数学】2000年1期。