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广义孪生素数猜想是指是否有无穷多个素数<math>p</math>，使得<math>p+2s</math>也是素数，s=1,2,3，....。其内容包括了孪生素数猜想，表兄弟素数猜想，六素数猜想，....。 
	{{squote|w=50%|存在无穷多个素数''p''，与''p + 2s''都是素数。}}
== 孪生素数猜想 ==
参见[[孪生素数猜想]]
	{{squote|w=50%|存在无穷多个素数''p''，与''p + 2''都是素数。}}s=1.
=== 孪生素数的公式 ===
利用素数的判定法则，可以得到以下的结论：“若自然数<math>q</math>与<math>q+2</math>都不能被任何不大于<math>\sqrt{q+2}</math>的素数
(contracted; show full)
=='''广义孪生素数猜想等价于哥德巴赫猜想'''==
如果s=1,2,3,4，....。都成立，那么广义孪生素数猜想等价哥德巴赫猜想。
这是因为<math>p</math>+（<math>p+2s</math>）=
2（<math>p+s</math>）=偶数。
'''
== 附三胞胎素数 ==
在[[数论]]中，'''三胞胎素数'''（也称为'''三生素数'''）是一类由三个连续[[素数]]组成的数组。三胞胎素数的定义类似于[[孪生素数]]，它的名字也正是由此而来。
==
= 定义 ===
正如孪生素数是指差等于2的两个素数，三胞胎素数是指三个连续素数，使得其中最大的一个减去最小一个的差不超过6。事实上，除了最小的两组三胞胎素数：(2, 3, 5) 和 (3, 5, 7)，其它的三胞胎素数都是相差达到6的三元数组。除了以上两个特例以外，三胞胎素数分为两类：
# A类三胞胎素数，构成为<math>(p, p+2, p+6)</math>，相差2的两个孪生素数在前面，例如：(5，7，11)；(11，13，17)； (17，19，23)；等等。
# B类三胞胎素数，构成为<math>(p, p+4, p+6)</math>，相差2的两个孪生素数在后面，例如：(7，11，13)；(13，17，19)；(37，41，43)；等等。    
当素数''p'' 大于3时，可以证明形同<math>(p, p+2, p+4)</math>的数组不可能是三胞胎素数{{cite book | title = ''Prime numbers: a computational perspective''| author =Richard E. Crandall, Carl Pomerance | publisher = Springer, 第二版| year =2005 | isbn =978-0387252827 }}第77页.</ref>。事实上，这三个数对3的模两两不同，所以必然有一个能被3整除。然而这三个数都比3要大，因此一定有一个是3的倍数，从而这个数不是素数。
=== 公式 ==⏎
⏎
=
==== A类三胞胎素数 ====
为了具体地求一定范围内的A类三胞胎素数，可以利用一下的定理：“若自然数<math>A-2, A, A+4</math>都不能被不大于<math>\sqrt{A+4}</math>的任何素数整除，则<math>A-2, A</math>与<math>A+4</math>都是素数”。 这个定理的证明用到一个简单的事实：如果一个自然数<math>A</math>不能被不大于<math>\sqrt{A}</math>的任何素数整除，则<math>A</math>是素数。
考虑按照从小到大的顺序：2，3，5，……排列的前''k'' 个素数<math>p_{1},p_{2},\dots,p_{k}</math>。解方程：
:<math>A=p_{1}m_{1}+b_{1}=p_{2}m_{2}+b_{2}=\dots=p_{k}m_{k}+b_{k} \qquad \qquad \cdots \quad (1)</math>
其中<math>b_{i} \neq 0</math>，<math>b_{i} \neq 2</math>，<math>b_{i} \neq p_{i}-4</math>（保证<math>A-2, A, A+4</math>都不能被任一个素数整除），<math>1 \le b_{i} \le p_{i} - 1</math>。 
 
如果解出<math>A<p^{2}_{k+1}-4</math>，则<math>A-2,A</math>与<math>A+4</math>是一组三胞胎素数。 
  
我们可以把（1）式内容等价转换成为[[同余]]方程组表示： 
:<math>A \equiv b_1 \pmod{p_1}, \  A \equiv b_2 \pmod{p_2}, \  \cdots,\  A \equiv b_k \pmod{p_k} \qquad \qquad \cdots \quad (2)</math> 
由于（2）式的模<math>p_{1}</math>、<math>p_{2}</math>、……、<math>p_{k}</math> 是素数，两两互素，根据[[孙子定理]]（中国剩余定理）知，对于给定的<math>b_{1}, b_{2}, \cdots , b_{k}</math>，（2）式在<math>p_{1} p_{2} \cdots p_{k}</math>范围内有唯一解。
==== A类三胞胎素数的例子 ====
例如k=2时，<math>A=2m_{1}+1=3m_{2}+1</math>，解得<math>A=7, 13, 19</math>。这三个素数都满足<math>A<p^{2}_{k+1}-4</math>的条件：<math>7, 13, 19<5^2-4</math>，因此，这三个素数所对应的素数组：
:7-2，7与7+4；
:13-2，13与13+4；
:19-2，19与19+4
都是三胞胎素数组。
这样，就求得了区间<math>(5, 5^2)</math>中的全部A类三胞胎素数。 
(contracted; show full)! k=4时 !! <math>7m_{4}+1</math> !! <math>7m_{4}+2</math>  !! <math>7m_{4}+3</math>  !! <math>7m_{4}+6</math> 
|-
| <math>B=2m_{1}+1=3m_{2}+2=5m_{3}+1</math> || 71 || 191 || 101 || 41
|-
| <math>B=2m_{1}+1=3m_{2}+2=5m_{3}+2</math> || 197 || 107 || 17 || 167
|}已经求得了区间<math>(11, 11^2)</math>的全部B类三胞胎素数。
仿此下去可以求得给定区域内的全部A类和B类全部三胞胎素数，并且一个不漏地求得。
==
= 三胞胎素数猜想 ===
有关孪生素数的一个著名猜想是：是否有无穷多个孪生素数？这个问题迄今尚未解决。同样的，有关于三胞胎素数的类似猜想：是否有无穷个三胞胎素数？用三胞胎素数公式的角度，就是以上的（1）（2）（3）（4）四个方程组k值任意大时是否都有小于<math>p_{k+1}^2-4</math> 或 <math>p_{k+1}^2-2</math> 的解。由于三胞胎素数中一定有两个是孪生素数，解决了三胞胎素数猜想也就意味着解决了孪生素数猜想。同时，上面四个公式也把这个问题转入初等数论范围。

=='''两对一起孪生素数-（四胞胎素数）'''==
（'''四連素数'''）是指一組符合以下形式的[[素数]]{''p'', ''p''+2, ''p''+6, ''p''+8}。上述形式是大於3的四個連續素数出現機率最高的形式。頭幾組四胞胎素数如下
{[[5]], [[7]], [[11]], [[13]]}, {11, 13, [[17]], [[19]]}, {[[101]], [[103]], [[107]], [[109]]}, {[[191]], [[193]], [[197]], [[199]]}, {821, 823, 827, 829}, {1481, 1483, 1487, 1489}, {1871, 1873, 1877, 1879}, {2081, 2083, 2087, 2089}, {3251, 3253, 3257, 3259}, {3461, 3463, 3467, 3469}, {5651, 5653, 5657, 5659}, {9431, 9433, 9437, 9439} 。
四胞胎素数中有包括二組連續的[[孪生素数]]及二組互相重疊的[[三胞胎素数]]（同时A类与B类）。
目前還不確定是否存在無限組四胞胎素数，若四胞胎素数有無限組，也就可推得了[[孪生素数猜想]]，不過根據现有的知識推測，孪生素数可能有無限組，但四胞胎素数可能只有有限組。  
=== 四生素数的公式 ===
有一条定理：“若自然数S-4，S-2，S+2，S+4都不能被不大于<math>\sqrt{S+4}</math>任何素数整除，则S-4，S-2,S+2，S+4都是一组10以内的四生素数，称为四胞胎素数组”。这是根据[[素数判定法则]]，“若自然数n不能被不大于<math>\sqrt{n}</math>任何素数整除,则n是一个素数。《代数学辞典》259页，上海教育出版社1985年屉部贞市朗著【日】
  
这句话可以用公式表达：
 
<math>S=p_{1}m_{1}+a_{1}=p_{2}m_{2}+a_{2}=\dots=p_{k}m_{k}+a_{k}</math>。(1)
  
(contracted; show full)|-
| <math>S=2m_{1}+1=3m_{2}=5m_{3}=7m_{4}+1</math>= || 1485 || 1695 || 2115 || 225 || 435 || 855 || 1275
|-
| <math>S=2m_{1}+1=3m_{2}=5m_{3}=7m_{4}+6</math>= || 825 || 1035 || 1455 || 1875 || 2085 || 195 || 615
|}求得了（13,13²）区间的全部解。s<<math>p^{2}_{6}-4</math>=13²-4=165的解只有105.
  
仿此下去，可以一个不漏地求得全部四胞胎素数组。
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= 四胞胎素数猜想 ===
是否有无穷组四胞胎素数？这就是四胞胎素数猜想。也就是k值任意大（1）和（2）式都有小于<math>p^{2}_{k+1}-4</math>的解。证明（1）和（2）是一个初等数论问题。
证明了四胞胎素数有无穷多，也就证明了有无穷多对孪生素数和无穷多组三胞胎素数。如果四胞胎素数是有限的，并不能说明孪生素数是有限的。
== 参考文献 ==
#《一万个世界之谜》湖北少儿出版社，梁宗巨主编。
#《谈谈素数表达式》【中等数学】1999年2期；
#《关于一个寻找素数方法的理论依据》【中等数学】2003年4期；
#《孪生质数公式》【中等数学】2000年1期。