Difference between revisions 2693950 and 2694186 on bswiki

{{Nedostaju izvori}}
Osnovni pojmovi;definicije i teoreme:

P: Paralelogram je centralno simetrična figura
Q:Romb je paralelogram
P'''→'''Q:Romb  je centralno simetričan

U geometriji osnovni pojmovi su        [[tačka, prava i ravan]]; a osnovne relacije (regulišu neke osnovne veze između objekata ) su pripada, leži na. Za ostale pojmove uvode se definicije . definisati neki pojam znaći objasniti neki pojam uz pomoć osnovnih i već ranije definisanih pojmova.
(contracted; show full)Logički dokazati teoremu znači  dokazati da je to logička posljedica predhodno utvrđenih  stavova- teorema i aksioma.
Vrste dokaza:
#Matematička indukcija
#Progresivni sintetički dokaz
#Regresivni analitički dokaz
#Indirektni

==
= Matematička indukcija ===
Princip  matematičke indukcije koji glasi:
Ako neka tvrdnja vrijedi za broj <math>\ 1</math>, i ako iz pretpostavke da vrijedi za neki prirodni broj   <math>\ n</math>.   možemo pokazati da vrijedi i za <math>\ n+1</math> za <math>\ n \in N </math>

Dokaz matematičkom indukcijom se provodi u tri koraka

1.faza provjerimo stav ili formulu u kojoj formuliše n iz N a koji želimo dokazati za neki prirodni broj n = k<sub>0</sub> najčešće za k<sub>0</sub> =1
2.faza pretpostavimo istinitost za n = k<sub>0</sub>  i na osnovu te tvrdnje da važi za n = k+1

3.faza ako je utvrđeno1) i 2)  zaključujemo da tvrdnja koju dokazujemo vrijedi za svako n> k<sub>0</sub>

Ovom metodom dokazuju se tvrdnje o jednakostima, nejednakostima, nizovima...
Primjer

:<math>\ 1+2+3+... n = \frac{n(n+1)}{2})</math>
:za <math>\ n=1</math>
:<math>\ 1=\frac{1*2}{2})</math>
: neka važi za <math>\ n</math>
:Dokažimo za <math>\ n+1</math>
:<math>\ 1+2+3+... n+(n+1) = \frac{n(n+1)}{2})+(n+1)= \frac{(n+1)(n+2)}{2}) </math>⏎
==Regresivna indukcija==
Istinitost nekog metoda <math>P(n)</math>, za svako <math>n</math> po metodu regresivne indukcije slijedi iz:
#<math>P(n)</math> je tacno za beskonacno mnogo prirodnih brojeva <math>n</math>
#za sve prirodne brojeve (n >1)P(n)= >P(n-1) je tacan iskaz.

Primer 
Dokazati da za sve prirodne brojeve <math>n</math> i sve nenegativne realne brojeve <math>a_1, a_2,...a_n</math> vazi nejednakost aritmeticke i geometrijske sredine

<math>  \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}  \ge         \sqrt[n]{a_1*a_2*...*a_n}</math>

Prvo matematickom indukcijom po <math>k</math> dokazujemo da tvrdjenje vazi za sve prirodne brojeve oblika <math>n=2^k, k \in N</math>.
za <math>k=1 (n=2)</math> imamo
<math>  \frac{a_1+a_2}{2}  \ge         \sqrt{a_1*a_2}</math>

<math>a_1+a_2\ge 2\sqrt{a_1*a_2}</math>

<math>a_1-2 \sqrt{a_1*a_2}+a_2 \ge 0</math>

<math>(\sqrt{a_1}-\sqrt{a_2})^2\ge 0</math>
To znaci nejednakoxt vazi za

<math>n\in \begin{Bmatrix}2,2^2,2^3,...\end{Bmatrix}</math>

Pretpostavimo sada da je nejednakost tačna za neki prirodan broj <math>n</math> i izaberimo
:<math>a_n =\frac{1}{n-1}(a_1+a_2+...a_{n-1})</math>

<math>\frac{a_1+a_2+...+a_{n-1}+ \frac{a_1+a_2+...a_{n-1}}{n-1}}{n}\ge \sqrt[n]{a_1*a_2...a_n\frac{a_1+a_2+...a_{n-1}}{n-1}}</math>

<math>\frac{a_1+a_2+...+a_{n-1}}{n}\ge \sqrt[n]{a_1*a_2...a_{n-1}} \sqrt[n]{ \frac{a_1+a_2+...+a_{n-1}}{n-1}}</math>

<math>(\frac{a_1+a_2+...+a_{n-1}}{n})^{1-\frac{1}{n}}\ge \sqrt[n]{a_1*a_2...a_{n-1}}</math>

<math>\frac{a-1+a_2+...+a_{n-1}}{n-1} \ge \sqrt[n-1]{a_1*a_2...a_{n-1}} </math>

Dokazalismo da nejednakost vazi i za <math>n-1</math>, pa zakljucujemo da vazi za sve prirodne brojeve.
U datoj nejednakosti za <math>n\ge 2</math> jednaskost važi ako i samo ako je <math>a_1=a_2=...a_n</math> .

==Rekurentna indukcija==
Postoje tvrdnje koje se dokazuju metodom matematicke indukcije, ali je pri dokazivanju indukcijskog koraka prakticnije pretpostaviti <math>P(n-k), P(n-k+1),...P(n)</math> i dokazati <math>P(n+1)</math>. Drugacije rečeno, ne cini se korak sa <math>n</math> ka <math>n+1</math>, većc sa nekoliko <math>k</math> koji prethode <math>n+1</math> ka <math>n+1</math>. Ako indukcijski korak ima k pretpostavki ovaj princip se moze zapisati:
:<math>P(1)\land P(2)\land  ...\land P(k)(\forall n \ge k )(P_{(n-k)}\land ...\land P(n)=> P{(n+1)})(\forall n \in N )P_n</math>
Ovaj princip matematicke indukcije je ekvivalentan osnovnom principu.

Primjer

Nela je
:<math>a_1=4</math>
:<math>a_2=12</math>, ...
:<math>a_{n+2}= 4a_{n+1-4a_n}</math> za <math>n \ge 1</math>

Dokazati
:<math>a_n=2^n-n*2^n</math>
:<math>a_1=2^1+1*2^1=2+2=4</math> i <math>a_2=2^2+2*2^2=4+8=12</math> za <math>n=1</math> i <math>n=2</math>
:vazi za <math>n</math> i <math>n+1</math>
:<math>a_{n+2}=4 (a_{n+1} -a_n)=4 (2^{n+1}+(n+1)2^{n+1}-2^n - n2^n)=</math>
<math>4*2^n(2+2n+2-1-n)=2^{n+2}(3+n)=2^{n+2}[(2+n)+1]=2^{n+2}+(n+2)2^{n+2}</math>
Jednakost vrijedi za sve prirodme brojeve
== Transfinitna indukcija==

Kod pojedinih tvrdnji o prirodnim brojevima za dokaz da važi <math>(\forall n \in N)P(n)</math> treba dokazati sljedece
#<math>P(1)</math> tacan iskaz
#<math>\forall n \in N)</math> ako su <math>P(1),...,P(n)</math> tacni iskazi onda je <math>P(n+1</math>) tacan iskaz.
Ova indukcija se zapisuje na sljedeci nacin
:<math>P(1) \land (\forall n \in N)(\forall k \le n)P(k) = > P(n+1)= > (\forall n \in N)P(n)</math>

Primjer
Dokazati da je svaki prirodan broj <math>n\ge 2</math> prost ili je proizvod prostih brojeva.

# za <math>n=2 </math> broj 2 je prost pa je tvrdnja tacna.
# neka je <math>n\ge 2</math> prirodan broj i neka tvrdnja vaz za <math>k < n</math>. broj n je prost pa je tvrdnja tacna.
Ako je slozen broj onda je <math>n=k_1k_2</math> za <math>k_1</math> i <math>k_2</math> prirodne brojeve manje od <math>n</math>.
Za <math>k_1</math> i <math>k_2</math> vazi indukcijska pretpostavka pa su oni prosti brojevi. ili proizvod prostih brojeva pa je <math>n=k_1*k_2</math>.

=== progresivni sintetički dokaz ===
Treba dokazati  p =>q  

p =>q<sub>1</sub> =>q<sub>2</sub>=>q<sub>3</sub> =>... =>q   

U ovom lancu sudova javljaju se neki novi sudovi ( aksiome i teoreme)koje smo ranije dokazali i na koje treba da se pozovemo

=== regresivni (analitički) dokaz ===
Ide se obrnutim putem
q =>p<sub>1</sub> =>p<sub>2</sub> =>p<sub>3</sub> =>... =>p

=== Indirektni ===

Dokazujemo pretpostavkom da teorema nije istinita i dolazimo do netačne pretpostavke.

== Lema ==

'''Lema'''  je jednostavan teorem. Koristi  se samo za  dokazivanje složenih teoreme. Ona  nema neku korist. Sama   po sebi nije nešto posebno, posebno ako je koristimo  ponovo na samu sebe i time dokaže da je tačna tvrdnja koju dokazujemo .

== Korolar ==

'''Korolar''' je dokazana teorema koja slijedi direktno iz nekog prethodnog teorema.




{{stub-mat}}
[[Kategorija:Matematika]]