Difference between revisions 2694186 and 2694187 on bswiki

{{Nedostaju izvori}}
Osnovni pojmovi;definicije i teoreme:

P: Paralelogram je centralno simetrična figura
Q:Romb je paralelogram
P'''→'''Q:Romb  je centralno simetričan

U geometriji osnovni pojmovi su        [[tačka, prava i ravan]]; a osnovne relacije (regulišu neke osnovne veze između objekata ) su pripada, leži na. Za ostale pojmove uvode se definicije . definisati neki pojam znaći objasniti neki pojam uz pomoć osnovnih i već ranije definisanih pojmova.
=== Definicija ===
Definicija je  ispravna u matematici  samo onda kada ona sadrži osnovne pojmove koje smo ranije definisali.

Pri definisanju treba se čuvati greške;
#Kada u definiciji koristimo isti pojam samo pod drugim imenom. npr: prave su normalne ako su okomite.( normalno i okomito isto značenje)
#Kada definišemo termin B pomoću termina A ili nekog drugog izvedenog  termina A* a da pri tome nije definisan npr: pravi ugao je ugao koji čine  dvije okomite prave.
U definiciji
Dvije prave su okomite ako one ćine pravi ugao nije definisan ni jedan od ova dva pojma.
=== Genus i specifične odlike- razlike ===
Primjer:
[[Paralelogram]] je [[četverougao]] kome su naspramne stranice paralelne.

Iz ove definicije proizlazi
#paralelogram je četverougao
#skup paralelograma je podskup skupa četverouglova
#paralelogram je vrsta četverouglačije su naspramne stranice paralelne.
(contracted; show full)Primjer

*Datom tačkom A prolazi jedna i samo jedna [[prava]] [[paralelna]] datoj pravoj.
Pri izboru  aksioma bitno je da su one saglasne našem iskustvu.

Treba razlikovati definicije i teoreme. Teoremama tvrdimo pa ih dokazujemo. Definicijama sporazumno dajemo naziv nekom pojmu. Za njh se  ne postavlja pitanje istinitosti nego pitanje da li odgovaraju tačno pojmovima koje definišemo i da li su dovoljno prikladne- pogodne. Nema smisla govoriti o dokazivanju.

==
= Teoreme ===
Teorem je iskaz u kojem se uočava da neki matematički pojam (uz, možda, još neke uvjete) ima još neke karakteristike osim onih datih u definiciji tog pojma i ta se tvrdnja mora dokazati. Dok se tvrdnja ne dokaže, tu tvrdnju zovemo propozicijom, hipotezom.

Na neki način se dokazane propozicije dijele na tri grupacije (ovo nije stroga matematička podjela, nego čisto zbog lakšeg razumijevanja.

(contracted; show full)
:<math>\ 1+2+3+... n = \frac{n(n+1)}{2})</math>
:za <math>\ n=1</math>
:<math>\ 1=\frac{1*2}{2})</math>
: neka važi za <math>\ n</math>
:Dokažimo za <math>\ n+1</math>
:<math>\ 1+2+3+... n+(n+1) = \frac{n(n+1)}{2})+(n+1)= \frac{(n+1)(n+2)}{2}) </math>
==
=Regresivna indukcija===
Istinitost nekog metoda <math>P(n)</math>, za svako <math>n</math> po metodu regresivne indukcije slijedi iz:
#<math>P(n)</math> je tacno za beskonacno mnogo prirodnih brojeva <math>n</math>
#za sve prirodne brojeve (n >1)P(n)= >P(n-1) je tacan iskaz.

Primer 
Dokazati da za sve prirodne brojeve <math>n</math> i sve nenegativne realne brojeve <math>a_1, a_2,...a_n</math> vazi nejednakost aritmeticke i geometrijske sredine

(contracted; show full)<math>(\frac{a_1+a_2+...+a_{n-1}}{n})^{1-\frac{1}{n}}\ge \sqrt[n]{a_1*a_2...a_{n-1}}</math>

<math>\frac{a-1+a_2+...+a_{n-1}}{n-1} \ge \sqrt[n-1]{a_1*a_2...a_{n-1}} </math>

Dokazalismo da nejednakost vazi i za <math>n-1</math>, pa zakljucujemo da vazi za sve prirodne brojeve.
U datoj nejednakosti za <math>n\ge 2</math> jednaskost važi ako i samo ako je <math>a_1=a_2=...a_n</math> .

==
=Rekurentna indukcija===
Postoje tvrdnje koje se dokazuju metodom matematicke indukcije, ali je pri dokazivanju indukcijskog koraka prakticnije pretpostaviti <math>P(n-k), P(n-k+1),...P(n)</math> i dokazati <math>P(n+1)</math>. Drugacije rečeno, ne cini se korak sa <math>n</math> ka <math>n+1</math>, većc sa nekoliko <math>k</math> koji prethode <math>n+1</math> ka <math>n+1</math>. Ako indukcijski korak ima k pretpostavki ovaj princip se moze zapisati:
:<math>P(1)\land P(2)\land  ...\land P(k)(\forall n \ge k )(P_{(n-k)}\land ...\land P(n)=> P{(n+1)})(\forall n \in N )P_n</math>
Ovaj princip matematicke indukcije je ekvivalentan osnovnom principu.

Primjer

Nela je
:<math>a_1=4</math>
:<math>a_2=12</math>, ...
:<math>a_{n+2}= 4a_{n+1-4a_n}</math> za <math>n \ge 1</math>

Dokazati
:<math>a_n=2^n-n*2^n</math>
:<math>a_1=2^1+1*2^1=2+2=4</math> i <math>a_2=2^2+2*2^2=4+8=12</math> za <math>n=1</math> i <math>n=2</math>
:vazi za <math>n</math> i <math>n+1</math>
:<math>a_{n+2}=4 (a_{n+1} -a_n)=4 (2^{n+1}+(n+1)2^{n+1}-2^n - n2^n)=</math>
<math>4*2^n(2+2n+2-1-n)=2^{n+2}(3+n)=2^{n+2}[(2+n)+1]=2^{n+2}+(n+2)2^{n+2}</math>
Jednakost vrijedi za sve prirodme brojeve
=== Transfinitna indukcija===

Kod pojedinih tvrdnji o prirodnim brojevima za dokaz da važi <math>(\forall n \in N)P(n)</math> treba dokazati sljedece
#<math>P(1)</math> tacan iskaz
#<math>\forall n \in N)</math> ako su <math>P(1),...,P(n)</math> tacni iskazi onda je <math>P(n+1</math>) tacan iskaz.
Ova indukcija se zapisuje na sljedeci nacin
:<math>P(1) \land (\forall n \in N)(\forall k \le n)P(k) = > P(n+1)= > (\forall n \in N)P(n)</math>

Primjer
Dokazati da je svaki prirodan broj <math>n\ge 2</math> prost ili je proizvod prostih brojeva.

# za <math>n=2 </math> broj 2 je prost pa je tvrdnja tacna.
# neka je <math>n\ge 2</math> prirodan broj i neka tvrdnja vaz za <math>k < n</math>. broj n je prost pa je tvrdnja tacna.
Ako je slozen broj onda je <math>n=k_1k_2</math> za <math>k_1</math> i <math>k_2</math> prirodne brojeve manje od <math>n</math>.
Za <math>k_1</math> i <math>k_2</math> vazi indukcijska pretpostavka pa su oni prosti brojevi. ili proizvod prostih brojeva pa je <math>n=k_1*k_2</math>.

=== progresivni sintetički dokaz ===
Treba dokazati  p =>q  

p =>q<sub>1</sub> =>q<sub>2</sub>=>q<sub>3</sub> =>... =>q   

U ovom lancu sudova javljaju se neki novi sudovi ( aksiome i teoreme)koje smo ranije dokazali i na koje treba da se pozovemo

=== regresivni (analitički) dokaz ===
Ide se obrnutim putem
q =>p<sub>1</sub> =>p<sub>2</sub> =>p<sub>3</sub> =>... =>p

=== Indirektni ===

Dokazujemo pretpostavkom da teorema nije istinita i dolazimo do netačne pretpostavke.

== Lema ==

'''Lema'''  je jednostavan teorem. Koristi  se samo za  dokazivanje složenih teoreme. Ona  nema neku korist. Sama   po sebi nije nešto posebno, posebno ako je koristimo  ponovo na samu sebe i time dokaže da je tačna tvrdnja koju dokazujemo .

== Korolar ==

'''Korolar''' je dokazana teorema koja slijedi direktno iz nekog prethodnog teorema.




{{stub-mat}}
[[Kategorija:Matematika]]