Difference between revisions 2694187 and 2694200 on bswiki

{{Nedostaju izvori}}
Osnovni pojmovi;definicije i teoreme:

P: Paralelogram je centralno simetrična figura
Q:Romb je paralelogram
P'''→'''Q:Romb  je centralno simetričan

U geometriji osnovni pojmovi su        [[tačka, prava i ravan]]; a osnovne relacije (regulišu neke osnovne veze između objekata ) su pripada, leži na. Za ostale pojmove uvode se definicije . definisati neki pojam znaći objasniti neki pojam uz pomoć osnovnih i već ranije definisanih pojmova.
(contracted; show full)Primjer

:<math>\ 1+2+3+... n = \frac{n(n+1)}{2})</math>
:za <math>\ n=1</math>
:<math>\ 1=\frac{1*2}{2})</math>
: neka važi za <math>\ n</math>
:Dokažimo za <math>\ n+1</math>
:<math>\ 1+2+3+... n+(n+1) = \frac{n(n+1)}{2})+(n+1)= \frac{(n+1)(n+2)}{2}) </math>
⏎
⏎
===Istorija matematičke indukcije===

Najraniji tragovi  matematičke indukcije implicitno su sadržani u Euklidovim dokazima na primjer u dokazu da postoji beskonačno mnogo prostih brojeva (300. p.n.e.).
U IX knjizi  Euklidovih prostih brojeva ima beskonačno mnogo

Euklid ovu tvrdnju dokazuje uzimajući za proste brojeve A, B, C i pokazuje da je ABC+1 novi prost broj G. Zaključak dokaza je:
„Dobili smo proste brojeve A, B, C G što je više od predpostavljenih“

Euklidu je nedostajao algebarski jezik neophodan za uopšteniji indukcijski korak, a umjesto toga ga je predstavljao u konkretnom slučaju.

Prva eksplicitna formulacija javlja se kod Paskala. On je u svojoj knjizi (1654. god.) upotrebio metod kompletne indukcije u vezi sa aritmetičkim trouglom, koji nosi njegovo ime, i njegovim primjenama

<math>    	\binom{n}{k}= 	\binom{n-1}{k-1}+ 	\binom{n-1}{k}                    </math>

Veliki doprinos u nastajanju matematičke indukcije dali su arapski matematičari. Implicitni dokaz indukcijom za aritmetičke nizove uveo je 
al-Karaji oko1000.god. a nastavio je al-Samaw’al koji je koristio za 
specijalne slučajeve binomne teoreme i osobine  Paskalovog trougla.
Khayyam (1048–1131) je napisao značajnu Studiju o rješavanju algebarskih problema (1070. god.). posebno je izveo opšti metod za rješavanje kubnih jednačina. U Studiji on je pisao o trougaonom nizu i binomnim koeficijentima poznatim kao Paskalov trougao.

Takođe značajan doprinos su dali i indijski matematičari. Bhaskara (1114 -1185. god.)  izveo je ciklični metod za rješavanje neodređene kvadratne jednačine oblika 
ax^2+bx+c=0 u kome se javlja  matematička indukcija.

Naznake metoda matematičke indukcije mogu se naći u radu F. Mavrolikosa (1494- 1575) u knjizi I njegove Aritmetike iz 1545.god.
Mavrolikos u  svojoj knjizi počinje definicijama različitih vrsta brojeva kao što su:
# Parni brojevi
# Neparni brojevi
# Trougaoni brojevi ( n-ti (po veličini) trouglasti broj je zbir prirodnih brojeva od 1 do n )
# Kvadratni brojevi
# Numeri parte altera longories (N.P.A.L.) ( N-ti (po veličini) N.P.A.L. broj je proizvod n(n-1))
...
{| class="wikitable"
|-
! Prirodni !! Neparni !! Parni !! Trouglasti !! Kvadratni !! NPAL
|-
| 1|| 1|| 2 || 1 || 1 || 0
|-
| 2 || 3 || 4 || 3|| 4 || 2
|-
| 3 || 5 || 6 || 6 || 9 || 6
|-
|4 || 7 || 8 || 10|| 16 || 12
|-
| 5 || 9 || 10 || 15 || 25 ||20
|-
| 6 || 11 || 12 || 21 || 36 || 30
|-
| 7 || 13 || 14 || 28 || 49 || 42
|}

Nakon ovih definicija slijede teoreme u vezi sa uvedenim vrstama brojeva.

;Teorema IV 
Neparni brojevi se dobijaju iz jedinice uzastopnim dodavanjem broja 2. 
n-ti  neparan broj +2= sljedeći neparan broj 
<math>N_n +2=N_{n+1}</math>
;Teorema X
<math>2T_n= L_{n+1}</math>
;Teorema X
<math>L_n+n= K_n</math>
;Teorema XI
:<math>T_n + T_{n-1}=K_n</math>
;Teorema XIII
:<math>K_n+N_{n+1}=K_{n+1}</math>
;Teorema XV
:<math>N_1+N_2+....+N_n=K_n</math>

;Dokaz teoreme XI
Prvi kvadratni broj je 1, koji je ujedno i neparan dodamo drugom neparnom broju 3 dobijamo drugi kvadratni broj 4.
:<math>1+3=4</math>
<math>4+5=9</math>
:<math>9+7=16</math>

Tako neograničenom primjenom Teoreme XIII  dokazujemo da je tačna tvrdnja
Izloženi dokaz jasno ukazuje na začetak metode matematičke indukcije u obliku u kome je i danas  koristimo.

Sve do XVII  vijeka nije pronađena zadovoljavajuća formulacija metode, kada se javila u radu Pjera Fermaa(1601- 1665) i Bleza Paskala (1623-1662)
Ferma je koristio svoju verziju matematičke indukcije, poznatiju kao “metod spusta“, u dokazu  čuvene poslednje teoreme. 
Teorema glasi
Ne postoje cjelobrojna rešenja jednačine 
:<math>x^2+y^2=z^2 </math>  za koje je  <math>\frac{xy}{2} </math>  kvadrat
Ferma pretpostavlja suprotno od onoga što  želi da dokaže kao hipotezu.

On pretpostavlja da takva rješenja postoje. 
Izostavljajući veći dio dokaza on glasi:

„Dakle, ako postoje dva kvadrata takva da su njihovi zbir i razlika takođe kvadrati, takođe će postojati druga dva kvadrata koji će imati istu osobinu, ali će imati manji zbir. Po istom principu nalazimo zbir opet manji od predhodne i nastavljamo do beskonačnosti nalazeći kvadrate cijelih brojeva sve manje i manje koji imaju istu osobinu. To je međutim ne moguće, jer ne postoji beskonačan niz brojeva manjih nego bilo koji ceo broj koji zamislimo.’’
Fermaova strategija je bila da dokaže postojanje beskonačno opadajućeg niza kvadrata brojeva iz negiranja teoreme. Pošto strogo opadajući niz prirodnih brojeva ne postoji, Ferma je pokazao da 
negiranje teoreme dovodi do kontradikcije i time je teorema tačna. Fermaov metod poznat kao metod spusta je obrnuti oblik matematičke indukcije, jer on podrazumjeva spust, a ne uspon prirodnih brojeva. Glavna odlika ove metode je da je pretpostavka da neprazan skup prirodnih brojeva sadrži najmanji element i to je ono što ga čini ekvivalentnim sa matematičkom indukcijom.

Nakon Fermaa, matematička indukcija je ponekad bila poznata kao 
Fermaova indukcija, mada je zahvaljujući Paskalu dobijena prva zadovoljavajuća formulacija, tj moderna forma matematičke indukcije. Ona se pojavljuje u kratkoj knjizi koju je Paskal objavio 1654. god. o aritmetičkim trouglovima koji nose njegovo ime. Paskal je bio upoznat sa radom Mavrolikosa i njegovom aritmetikom. On je u nekoliko navrata koristio metod kompletne indukcije u vezi sa svojim aritmetičkim rouglom i njegovim primjenama

Poslije Paskala i Fermaa matematička indukcija je postala standardni metod dokazivanja među matematičarima.  Naziv matematička indukcija
Dao je  De Morgan 1838. god⏎
⏎
⏎
⏎
⏎
⏎
⏎
⏎
⏎
⏎
⏎
⏎
⏎

===Regresivna indukcija===
Istinitost nekog metoda <math>P(n)</math>, za svako <math>n</math> po metodu regresivne indukcije slijedi iz:
#<math>P(n)</math> je tacno za beskonacno mnogo prirodnih brojeva <math>n</math>
#za sve prirodne brojeve (n >1)P(n)= >P(n-1) je tacan iskaz.

Primer 
(contracted; show full)
'''Korolar''' je dokazana teorema koja slijedi direktno iz nekog prethodnog teorema.




{{stub-mat}}
[[Kategorija:Matematika]]