Difference between revisions 2694202 and 2694206 on bswiki

{{Nedostaju izvori}}
Osnovni pojmovi;definicije i teoreme:

P: Paralelogram je centralno simetrična figura
Q:Romb je paralelogram
P'''→'''Q:Romb  je centralno simetričan

U geometriji osnovni pojmovi su        [[tačka, prava i ravan]]; a osnovne relacije (regulišu neke osnovne veze između objekata ) su pripada, leži na. Za ostale pojmove uvode se definicije . definisati neki pojam znaći objasniti neki pojam uz pomoć osnovnih i već ranije definisanih pojmova.
(contracted; show full):<math>\ 1=\frac{1*2}{2})</math>
: neka važi za <math>\ n</math>
:Dokažimo za <math>\ n+1</math>
:<math>\ 1+2+3+... n+(n+1) = \frac{n(n+1)}{2})+(n+1)= \frac{(n+1)(n+2)}{2}) </math>

===Historija matematičke indukcije===

Najraniji tragovi  matematičke indukcije implicitno su sadržani u 
[[Euklid|Euklidovim]] dokazima na primjer u dokazu da postoji beskonačno mnogo [[Prosti brojevi|prostih brojeva]] (300. p.n.e.).
U IX knjizi  Euklidovih prostih brojeva ima beskonačno mnogo

Euklid ovu tvrdnju dokazuje uzimajući za proste brojeve A, B, C i pokazuje da je ABC+1 novi prost broj G. Zaključak dokaza je:
„Dobili smo proste brojeve A, B, C G što je više od predpostavljenih“

Euklidu je nedostajao algebarski jezik neophodan za uopšteniji indukcijski korak, a umjesto toga ga je predstavljao u konkretnom slučaju.

Prva eksplicitna formulacija javlja se kod [[Blaise Pascal|Paskala]]. On je u svojoj knjizi (1654. god.) upotrebio metod kompletne indukcije u vezi sa aritmetičkim [[Trougao|trouglom]], koji nosi njegovo ime, i njegovim primjenama

<math>    	\binom{n}{k}= 	\binom{n-1}{k-1}+ 	\binom{n-1}{k}                    </math>

Veliki doprinos u nastajanju matematičke indukcije dali su arapski matematičari. Implicitni dokaz indukcijom za aritmetičke nizove uveo je 
[[al-Karaji]] oko1000.god. a nastavio je al-Samaw’al koji je koristio za 
specijalne slučajeve binomne teoreme i osobine  Paskalovog trougla.
Khayyam (1048–1131) je napisao značajnu Studiju o rješavanju algebarskih problema (1070. god.). posebno je izveo opšti metod za rješavanje kubnih jednačina. U Studiji on je pisao o trougaonom nizu i binomnim koeficijentima poznatim kao Paskalov trougao.

(contracted; show full)Dao je  De Morgan 1838. god

===Regresivna indukcija===
Istinitost nekog metoda <math>P(n)</math>, za svako <math>n</math> po metodu regresivne indukcije slijedi iz:
#<math>P(n)</math> je tacno za beskonacno mnogo prirodnih brojeva <math>n</math>
#za sve prirodne brojeve (n >1)P(n)= >P(n-1) je tacan iskaz.

Prim
jer 
Dokazati da za sve prirodne brojeve <math>n</math> i sve nenegativne realne brojeve <math>a_1, a_2,...a_n</math> vazi nejednakost aritmeticke i geometrijske sredine

<math>  \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}  \ge         \sqrt[n]{a_1*a_2*...*a_n}</math>

Prvo matematickom indukcijom po <math>k</math> dokazujemo da tvrdjenje vazi za sve prirodne brojeve oblika <math>n=2^k, k \in N</math>.
za <math>k=1 (n=2)</math> imamo
(contracted; show full)== Lema ==
'''Lema'''  je jednostavan teorem. Koristi  se samo za  dokazivanje složenih teoreme. Ona  nema neku korist. Sama   po sebi nije nešto posebno, posebno ako je koristimo  ponovo na samu sebe i time dokaže da je tačna tvrdnja koju dokazujemo .

== Korolar ==
'''Korolar''' je dokazana teorema koja slijedi direktno iz nekog prethodnog teorema.

{{stub-mat}}
[[Kategorija:Matematika]]