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Ein '''parametrischer Oszillator''' ist ein [[harmonischer Oszillator]], dessen Parameter (die Resonanzfrequenz <math>\omega_0</math> sowie die Dämpfungskonstante <math>\beta</math>) eine zeitabhängige Funktion sind. 

:<math>
\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + \beta(t) \frac{dx}{dt} + \omega^{2}(t) x = 0
</math>

Diese Gleichung ist linear in <math>x(t)</math>. Die Parameter <math>\omega_0^2</math> und <math>\beta</math> sind dabei nur zeitabhängig und hängen nicht von dem Zustand ab, in dem sich der Oszillator befindet. Üblicherweise wird angenommen, dass <math>\beta(t)</math> und/oder <math>\omega_0^2(t)</math> periodisch sind, und sich mit der gleichen pPeriode <math>T</math> verändern.

Remarkably, if thInterressant ist der Fall, wenn sich die pParameters vary at roughly ''twice'' the natural frequency of the osc mit doppoeter Eigenfrequenz des Oszillators (defined below), the oscillator phase-locks to the parametric variation and absorbs energy at a rate proportional to the energy it alreadysiehe unten) verändern. Dann schwingt der Oszillator phasenstarr mit der parametrischen Veränderung und absorbiert dabei Energie proportional zu der Energie, die er bereits hast.  Without a compensating energy-loss mechanism, the oscillation amplitude growsOhne ein Mechanismus, der dieses Anwachsen kompensiert, wächst die Amplitude der Oszillation somit exponentiaelly. (This phenomenon is called '''parametric excitation an. (Dieses Phänomen nennt man '''parametrische Erregung''', '''parametric rsche Resonancez''' order auch '''parametric pumping'''.)  However, if the initial amplitude is zero, it will remain so; thi). Wenn der Oszillator in diesem Fall allerdings mit einer Anfangsamplitude von null startet, so bleibt diese null. Dieses distinguishes it from the non-parametric resonance of driven simple [[harmonic oscillator ein wichtiges Unterscheidungsmerkmal zwischen parametrischer Anregung und nicht parametrischer Anregung, beispielsweise eine [[erzwungene Schwingung]]s, in which thbei denen die aAmplitude grows linearly in time regardless of the initial state. unabhängig von ihren Anfangswerten meist linear mit der Zeit anwächst. 

A familiar experience of parametric oscillation is playing on a swing. By alternately raising and lowering their center of mass (changing their moment of inertia and, thus, the resonant frequency) at key points in the swing, children can quickly reach large amplitudes provided that they have some amplitude to start with (e.g., get a push).  Doing so at rest, however, goes nowhere.

==Transformation of the equation==

We begin by making a change of variables

(contracted; show full)* [[Optical parametric amplifier]]

[[Category:Oscillators]]
[[Category:Amplifiers]]
[[Category:Dynamical systems]]
[[Category:Ordinary differential equations]]

</pre>