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Ein '''parametrischer Oszillator''' ist ein [[harmonischer Oszillator]], dessen Parameter (die Resonanzfrequenz <math>\omega_0</math> sowie die Dämpfungskonstante <math>\beta</math>) eine zeitabhängige Funktion sind. 

:<math>
\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + \beta(t) \frac{dx}{dt} + \omega^{2}(t) x = 0
</math>

(contracted; show full)

Ein bekanntes Beispiel für einen parametrischen Oszillator ist eine [[Schaukel]]. Um diese in Schwung zu versetzten bewegt man seine Beine und/oder Oberkörper um somit seinen Schwerpunkt zu verändern. Wenn die Verlagerung des Schwerpunkts zum richtigen Zeitpunkt stattfindet, kann man schnell sehr große Schwingungsamplituden erreichen. Wenn sich die Schaukel allerdings in Ruhe befindet, ist dies nicht möglich ohne zunächst eine Startampitude zu erlangen. 

==Transformation der Gleichung==


We begin by making a change of vZunächst substituieren wir die Variables  

:<math>
q(t) \equiv e^{D(t)} x(t)
</math>

whereobei <math>D(t)</math> is a time integral of the dampingdas Zeitintegral der Dämpfung ist

:<math>
D(t) \equiv \frac{1}{2} \int^{t} d\tau \ \beta(\tau)
</math>

This change of variables eliminates the dampiDiese Transformation eliminiert den Dämpfung  sterm

:<math>
\frac{d^{2}q}{dt^{2}} + \Omega^{2}(t) q = 0
</math>
 
where thobei die transformed fierte Frequency isz definediert ist als

:<math>
\Omega^{2}(t) = \omega^{2}(t) - 
\frac{1}{2} \left( \frac{d\beta}{dt} \right) - \frac{1}{4} \beta^{2}
</math>

In general, the variations in dampiÄnderungen der Dämpfung aund fFrequency are relatively small perturbationsz können üblicherweise als kleine Störungen aufgefasst werden

:<math>
\beta(t) = \omega_{0} \left[b + g(t) \right]
</math>

:<math>
\omega^{2}(t) = \omega_{0}^{2} \left[1 + h(t) \right]
(contracted; show full)* [[Optical parametric amplifier]]

[[Category:Oscillators]]
[[Category:Amplifiers]]
[[Category:Dynamical systems]]
[[Category:Ordinary differential equations]]

</pre>