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Ein '''parametrischer Oszillator''' ist ein [[harmonischer Oszillator]], dessen Parameter (die ResonanzfFrequenz <math>\omega_0</math> sowie die Dämpfungskonstante <math>\beta</math>) eine zeitabhängige Funktion sind. 

:<math>
\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + \beta(t) \frac{dx}{dt} + \omega^{2}(t) x = 0
</math>

Diese Gleichung ist linear in <math>x(t)</math>. Die Parameter <math>\omega_0^2</math> und <math>\beta</math> sind dabei nur zeitabhängig und hängen nicht von dem Zustand ab, in dem sich der Oszillator befindet. Üblicherweise wird angenommen, dass <math>\beta(t)</math> und/oder <math>\omega_0^2(t)</math> periodisch sind, und sich mit der gleichen Periode <math>T</math> verändern.

Interressant ist der Fall, wenn sich die Parameter mit doppoeter Eigenfrequenz des Oszillators (siehe unten) verändern. Dann schwingt der Oszillator phasenstarr mit der parametrischen Veränderung und absorbiert dabei Energie proportional zu der Energie, die er bereits hat. Ohne ein Mechanismus, der dieses Anwachsen kompensiert, wächst die Amplitude der Oszillation somit exponentiell an. (Dieses Phäno(contracted; show full)für einen parametrischen Oszillator ist eine [[Schaukel]]. Um diese in Schwung zu versetzten bewegt man seine Beine und/oder Oberkörper um somit seinen Schwerpunkt zu verändern. Wenn die Verlagerung des Schwerpunkts zum richtigen Zeitpunkt stattfindet, kann man schnell sehr große Schwingungsamplituden erreichen. Wenn sich die Schaukel allerdings in Ruhe befindet, ist dies nicht möglich ohne zunächst eine Startampitude zu erlangen. 

==Transformation der Gleichung==

Zunächst substituieren wir die Variable 
''x'' durch ''q''

:<math>
q(t) \equiv e^{D(t)} x(t)
</math>

wobei <math>D(t)</math> das Zeitintegral der Dämpfung ist

:<math>
D(t) \equiv \frac{1}{2} \int^{t} d\tau \ \beta(\tau)
</math>

Diese Transformation eliminiert den Dämpfungsterm und die Differentialgleichung wird somit zu:

:<math>
\frac{d^{2}q}{dt^{2}} + \Omega^{2}(t) q = 0
</math>
 
wobei sich für die transformierte Frequenz definiert ist als<math>\Omega</math> folgende Definition ergibt

:<math>
\Omega^{2}(t) = \omega^{2}(t) - 
\frac{1}{2} \left( \frac{d\beta}{dt} \right) - \frac{1}{4} \beta^{2}
</math>

Änderungen der Dämpfung und Frequenz können üblicherweise als kleine Störungen aufgefasst werden
(contracted; show full)* [[Optical parametric amplifier]]

[[Category:Oscillators]]
[[Category:Amplifiers]]
[[Category:Dynamical systems]]
[[Category:Ordinary differential equations]]

</pre>