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Ein '''parametrischer Oszillator''' ist ein [[harmonischer Oszillator]], dessen Parameter (die Frequenz <math>\omega</math> sowie die Dämpfungskonstante <math>\beta</math>) eine zeitabhängige Funktion sind. 

:<math>
\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + \beta(t) \frac{dx}{dt} + \omega^{2}(t) x = 0
</math>

(contracted; show full)\beta(t) = \omega_{0} \left[b + g(t) \right]
</math>

:<math>
\omega^{2}(t) = \omega_{0}^{2} \left[1 + h(t) \right]
</math>


wheredabei sind <math>\omega_{0}</math> aund <math>b\omega_{0}</math> are cKonstants, namely, the time-averaged oscen, welche dem zeitlichen Mittel der Oszillator ionsfrequency and damping, rez beziehungsweise der Dämpfung entsprectively.  The transformed frequency can hen. Die transformierte Frequenz <math>\Omega</math> kann analog geschrieben written in a similar wayerden als

:<math>
\Omega^{2}(t) = \omega_{n}^{2} \left[1 + f(t) \right]
</math>

whereobei <math>\omega_{n}</math> is the [[natural frequency]] of the damped harmonic oscillatorder gedämpften Schwingfrequenz des Oszillators entspricht

:<math>
\omega_{n}^{2} \equiv \omega_{0}^{2} \left( 1 - \frac{b^{2}}{4} \right)
</math>

and beziehungsweise

:<math>
\omega_{n}^{2} f(t) \equiv \omega_{0}^{2} h(t) - 
\frac{1}{2\omega_{0}} \left( \frac{dg}{dt} \right)
- \frac{b}{2} g(t) - \frac{1}{4} g^{2}(t)
</math>

Thus, our transformed equation can Somit kann die Differentialgleichung geschrieben writtenerden als

:<math>
\frac{d^{2}q}{dt^{2}} + \omega_{n}^{2} \left[1 + f(t) \right] q = 0
</math>

Remarkably, the indepIn dieser Form lässt sich sehen, dass die voneinander unabhängigen Änderungen  dent variationsr Dämpfung und Resonanzfrequenz, <math>g(t)</math> aund <math>h(t)</math> in the oscillator damping and resonant frequency, respectively, can be combined into a single pumping f, sich in einer Funcktion <math>f(t)</math>.  The converse conclusion is that any form of parametric excitation can be accomplished by varying either the r zusammenfassen lassen. Folglich kann jede Form einer parametererregten Schwingung sowohl durch Änderung der Resonant zfrequency or the dampiz als auch durch Änderung der Dämpfung, oder botheidem geschehen.

==Solution of the transformed equation==

Let us assume that <math>f(t)</math> is sinusoidal, specifically

:<math>
f(t) = f_{0} \sin 2\omega_{p}t
(contracted; show full)* [[Optical parametric amplifier]]

[[Category:Oscillators]]
[[Category:Amplifiers]]
[[Category:Dynamical systems]]
[[Category:Ordinary differential equations]]

</pre>