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Ein '''parametrischer Oszillator''' ist ein [[harmonischer Oszillator]], dessen Parameter (die Frequenz <math>\omega</math> sowie die Dämpfungskonstante <math>\beta</math>) eine zeitabhängige Funktion sind. 

:<math>
\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + \beta(t) \frac{dx}{dt} + \omega^{2}(t) x = 0
</math>

(contracted; show full)
\frac{d^{2}q}{dt^{2}} + \omega_{n}^{2} \left[1 + f(t) \right] q = 0
</math>

In dieser Form lässt sich sehen, dass die voneinander unabhängigen Änderungen der Dämpfung und Resonanzfrequenz, <math>g(t)</math> und <math>h(t)</math>, sich in einer Funktion <math>f(t)</math> zusammenfassen lassen. Folglich kann jede Form einer parametererregten Schwingung sowohl durch Änderung der Resonanzfrequenz als auch durch Änderung der Dämpfung oder beidem geschehen.

==
Solution of the transformed equation==

Let us assume that <math>f(t)</math> is sinusoidal, specificallyLösung der transformierten Gleichung==

Wir nehmen an, dass <math>f(t)</math> sinusförmig ist, und sich schreiben lässt als

:<math>
f(t) = f_{0} \sin 2\omega_{p}t
</math>

where thobei die pPumping frequencyz <math>2\omega_{p} \approx 2\omega_{n}</math> but need not equal <math>2\omega_{n}</math> exactly.  The solutionungefähr der gedämpften Schwingfrequenz entspricht. Eine exakte Übereinstimmung ist nicht notwendig. Die Lösung <math>q(t)</math> of ouder transformed equation may be writtenierten Differentialgleichung lässt sich schreiben als

:<math>
q(t) = A(t) \cos \omega_{p}t + B(t) \sin \omega_{p}t
</math>

where we have factored out the rapidly varying components (<math>\cos \omega_{p}t</math> and <math>\sin \omega_{p}t</math>) to isolate the slowly varying amplitudes <math>A(t)</math> and <math>B(t)</math>.  This corresponds to Laplace's variation of parameters method.

(contracted; show full)* [[Optical parametric amplifier]]

[[Category:Oscillators]]
[[Category:Amplifiers]]
[[Category:Dynamical systems]]
[[Category:Ordinary differential equations]]

</pre>