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Dispersion (Wasserwellen)
{{QS-Physik|Unerledigt=2012}}

Bei [[Wasserwelle]]n ([[Oberflächenwelle]]n) wird unter '''Dispersion''' insbesondere die Abhängigkeit der [[Phasengeschwindigkeit]] (Wellenfortschrittsgeschwindigkeit) von der [[Wellenlänge]] bzw. von der [[Frequenz]] verstanden:
[[Datei:Messina-waves-image.jpg|thumb|[[Interne Wellen]] südlich der [[Straße von Messina]]. Man erkennt die höhere Ausbreitungsgeschwindigkeit mit wachsender Wellenlänge]]
(contracted; show full)Für alle [[Welle]]n<nowiki/>arten ist nach [[John William Strutt, 3. Baron Rayleigh|Rayleigh]] die Dispersion der Phasengeschwindigkeit&nbsp;''c'' definiert als:

:<math>\frac{\mathrm dc}{\mathrm dL} = \frac{c - c_g}{L}</math>

Hierin ist
* <math>c_g</math> die Gruppengeschwindigkeit
* <math>L</math> die [[Wellenlänge]].
Je nach [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]]
 und Betrag des [[Differentialquotient]]en <math>\tfrac{\mathrm dc}{\mathrm dL}</math> ist die Gruppengeschwindigkeit kleiner, größer oder gleich der Phasengeschwindigkeit. Entsprechend unterscheidet man [[normale Dispersion]], [[anomale Dispersion]] und dispersionslose Wellenausbreitung. Im letztgenannten Fall ist die Phasengeschwindigkeit für alle Teilwellen (Komponenten-Wellen) der Gruppe gleich.

{| class="wikitable"
!
!d''c'' / d''L''
!d''c'' / d''f''
|-
|Normale Dispersion
|<math>>0</math>
|<math><0</math>
|-
|Keine Dispersion
|<math>=0</math>
|<math>=0</math>
|-
|Anomale Dispersion
|<math><0</math>
|<math>>0</math>
|-
|}

== Dispersion bei Schwerewellen ==
Abweichend von den [[Elektromagnetische Welle|elektromagnetischen Wellen]] werden bei [[Schwerewelle]]n die Wellenparameter wie folgt bezeichnet.

{| class="wikitable centered" style="text-align:center"
|- class="hintergrundfarbe6"
|
!Schwerewellen
!elektromagnet. Wellen
|-
|style="text-align:left" | Wellenlänge in m
|''L'' 
| <math>\lambda</math>
|-
|style="text-align:left" | Wellenfrequenz in Hz
|''f''
|<math>\nu</math>
|-
|style="text-align:left" | [[Periodendauer]] in s
|<math>T =\frac{1}{f}</math>
| -
|-
|style="text-align:left" | Phasengeschwindigkeit in m/s
|<math>c = L\cdot f</math>
|<math>v=\lambda\cdot\nu</math>
|-
|style="text-align:left" | Gruppengeschwindigkeit in m/s
|<math>c_g</math>
|<math>v_g</math>
|-
|style="text-align:left" | Wassertiefe in m
|d
| -
|-
|style="text-align:left" | [[Erdbeschleunigung]] in m/s²
|<math>g</math>
| -
|-
|}

[[Datei:{{Doppeltes Bild|rechts|Disp_c(L).svg|100|Dispersion_c(f).jpg|thumb|100px|right100|c(L, d)|c(f,  d)]]⏎
|lili|rere}}
Die ''klassische Dispersionsrelation'' nach [[George Biddell Airy|Airy]]-[[Laplace (1840) ist auch für Wellen nach der nichtlinearen Wellentheorie [[George Gabriel Stokes|Stokes]]' 2. Ordnung gültig.]]&nbsp;(1840) beschreibt die unterschiedliche Ausprägung der Dispersion in Abhängigkeit von der Wellenlänge bzw. Frequenz und der Wassertiefe&nbsp;''d'':

:<math>c=L = L \cdot f= = \sqrt{{gL\over\frac{gL}{2  \pi}}  \cdot \tanh  \left(  \frac{2 \pi d}{  L} \right)}= = \frac{g}{2  \pi f}  \cdot \tanh  \left( \frac{2 \pi d}{L}\right)</math>
[[Datei:Disp_c(L).svg|thumb|100px|right|c(L,d)⏎
mit dem [[Tangens Hyperbolicus]].

Sie beschreibt die unterschiedliche Ausprägung der Dispersion in Abhängigkeit von der Wassertiefe ''d''. Hierfür ist

:<math>\frac{\mathrm dc}{\mathrm dL }\ge 0</math>&nbsp;bzw.&nbsp;<math>\frac{\mathrm dc}{\mathrm df} \le 0</math> 

=== Begrenzte Wassertiefe ===
Es gilt die obige vollständige Dispersionsrelation.

Insbesondere in Bereichen, in denen die Wassertiefe geringer als die halbe Wellenlänge ist (''d'' ≤ 0,5 L), können sich in der Natur erhebliche Abweichungen ergeben. Als Ursachen kommen u.&nbsp;a. in Betracht: 
*morphologische Besonderheiten wie [[Riff (Geographie)|Riffe]] im [[Küstenvorfeld]],
*konstante Strömungen, [[beschleunigte Strömungen]], siehe [[Wellentransformation]]
*Windwirkungen und
*[[Stehende Welle|partiell stehende Wellen]] in Seegebieten mit Inseln, die der Küste vorgelagert sind (auch über Tiefwasser).
Bei [[Wellenresonanz]] tritt anomale Dispersion auf.

=== Tiefwasser ===
Bei der Ausbreitung über großer Wassertiefe (''d'' ≥ 0,5 L) liegt ''maximale normale Dispersion'' vor und die Phasengeschwindigkeit ist von der Wassertiefe ''unabhängig''. 
:<math>\frac{\mathrm dc}{\mathrm dL} =\sqrt{g\over{8\pi\cdot L}} </math>&nbsp;bzw.&nbsp;<math> \frac{\mathrm dc}{\mathrm df} = \frac{-g}{2\pi f^2}</math>
:<math>c=L\cdot f=\sqrt{gL\over{2\pi}}=\frac{g}{2\pi f}</math>
:<math>c_g=0{,}5 \, c</math>

=== Flachwasser ===
Im flachen Wasser (''d'' ≤ 0,04 L) ist die Wellenbewegung praktisch ''dispersionslos'' und nur von der Wassertiefe abhängig.
:<math>\frac{\mathrm dc}{\mathrm dL} = 0</math>&nbsp;bzw.&nbsp;<math>\frac{\mathrm dc}{\mathrm df} = 0</math>
:<math>c=L\cdot f=\sqrt{g\cdot d}</math>
:<math>c_g=c\,</math>

''Siehe auch:'' [[Wellenresonanz]], [[Dopplereffekt]]

== Dispersion bei Kapillarwellen ==
Für die Fortbewegung von [[Kapillarwelle]]n gilt
:<math>c=L\cdot f=\sqrt{2\pi\sigma\over{\rho L}}=\left(\frac{2\pi\sigma f}{\rho}\right)^{1/3}</math>

Darin bedeuten <math>\sigma</math> [[Oberflächenspannung]] und <math>\rho</math> Flüssigkeits[[dichte]].

Die Dispersion ist ''anomal''
:<math>\frac{\mathrm dc}{\mathrm dL} = \frac{-\left(2\pi\sigma L\right)^{-1/2}}{2L} </math>&nbsp;bzw.&nbsp;<math>\frac{\mathrm dc}{\mathrm df} = \frac{2\pi\sigma}{3\rho}\cdot \left(\frac{2\pi\sigma f}{\rho}\right)^{-2/3}Diese Dispersionsrelation gilt auch für Wellen nach der nichtlinearen [[George Gabriel Stokes|Stokes]]schen Wellentheorie 2.&nbsp;Ordnung.

=== Tiefwasser ===
Bei der Ausbreitung über großer Wassertiefe (''d'' ≥ 0,5 L) liegt ''maximale'' normale Dispersion vor, die Phasengeschwindigkeit ist unabhängig von der Wassertiefe:

:<math>c = L \cdot f = \sqrt{\frac{g L}{2 \pi}} = \frac{g}{2 \pi f} \neq \mathrm f(d)</math>
:<math>\Rightarrow \frac{\mathrm dc}{\mathrm dL} = \sqrt{\frac{g}{8 \pi \cdot L}} \quad \mathrm {bzw.} \quad \frac{\mathrm dc}{\mathrm df} = - \frac{g}{2 \pi f^2}</math>
:<math>\Rightarrow c_g = \frac{1}{2} \cdot c</math>

=== Begrenzte Wassertiefe ===
Es gilt die obige vollständige Dispersionsrelation.

Insbesondere in Bereichen, in denen die Wassertiefe geringer als die halbe Wellenlänge ist (''d'' ≤ 0,5 L), können sich in der Natur erhebliche Abweichungen ergeben. Als Ursachen kommen u.&nbsp;a. in Betracht: 
* morphologische Besonderheiten wie [[Riff (Geographie)|Riffe]] im [[Küstenvorfeld]],
* konstante Strömungen, [[beschleunigte Strömungen]], siehe [[Wellentransformation]]
* Windwirkungen
* [[Stehende Welle|partiell stehende Wellen]] in Seegebieten mit Inseln, die der Küste vorgelagert sind (auch über Tiefwasser).
Bei [[Wellenresonanz]] tritt anomale Dispersion auf.

=== Flachwasser ===
Im flachen Wasser (''d'' ≤ 0,04 L) ist die Wellenbewegung praktisch dispersionslos und nur von der Wassertiefe abhängig:

:<math>c = \sqrt{g \cdot d} \neq \mathrm f(L, f)</math>
:<math>\Rightarrow \frac{\mathrm dc}{\mathrm dL} = \frac{\mathrm dc}{\mathrm df} = 0</math>
:<math>\Rightarrow c_g = c.</math>

''Siehe auch:'' [[Wellenresonanz]], [[Dopplereffekt]]

== Dispersion bei Kapillarwellen ==
Für die Fortbewegung von [[Kapillarwelle]]n gilt

:<math>c = L \cdot f = \sqrt{\frac{2 \pi \sigma}{\rho L}} = \sqrt[3]{\frac{2 \pi \sigma f}{\rho}}</math>

Darin bedeuten
* <math>\sigma</math> [[Oberflächenspannung]] in N/m
* <math>\rho</math> Flüssigkeits[[dichte]].

Die Dispersion ist anomal:

:<math>\frac{\mathrm dc}{\mathrm dL} = - \sqrt{\frac{\pi \sigma}{2 \rho}} \cdot \frac{1}{\sqrt{L} \cdot L} < 0 \quad \mathrm {bzw.} \quad \frac{\mathrm dc}{\mathrm df} = \frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{\frac{2 \pi \sigma}{\rho}} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{f^2}} > 0</math>

[[Kategorie:Welle]]
[[Kategorie:Küsteningenieurwesen]]